Оптимизация без ограничений

Традиционный способ для функции одной переменной

На рис. 1.1 дано графическое представление функции f(x) , которая имеет локальный минимум в точке и глобальный минимум в точке .

Традиционный подход к задачке нахождения значений и состоит в поиске уравнений, которым они должны удовлетворять. Представленная на рис. 1.1 функция и ее производные непрерывны, и видно, что в Оптимизация без ограничений точках и производная (градиент функции) равна нулю. Как следует, и будут решениями уравнения . (1.1)

Точка , в какой достигается локальный максимум, и точка , в какой имеется точка горизонтального перегиба функции, также удовлетворяют этому уравнению. Как следует, уравнение является только нужным условием минимума, но не является достаточным условием минимума.

Рис. 1.1

Заметим Оптимизация без ограничений, но, что в точках и производная меняет символ с отрицательного на положительный. В точке символ изменяется с положительного на отрицательный, в то время как в точке он не изменяется. Как следует, производная в минимуме является растущей функцией, а так как степень возрастания измеряется 2-ой производной, можно ждать, что .

Если, но, 2-ая Оптимизация без ограничений производная равна нулю, ситуация остается неопределенной.

Приобретенные выше результаты могут отыскать надежное обоснование, если разглядеть разложение функции f(x) в ряд Тейлора в округи точки (либо , либо ), что, естественно, просит непрерывности функции f(x) и ее производных:

(1.2)

Если в точке достигается минимум, то левая часть (1.2) будет неотрицательной для Оптимизация без ограничений хоть какого довольно малого h ( ). Как следует, 1-ая производная должна быть равна нулю, и это является достаточным условием (см. уравнение (1.1)). Если б она была положительной, то довольно маленькое отрицательное значение h делало бы правую часть (1.2) отрицательной, а если б она была отрицательной, то довольно маленькое положительное значение h делало Оптимизация без ограничений бы правую часть отрицательной.

Потому что в последующем члене (1.2) всегда , то, если , в точке достигается минимум. Если , то из подобных суждений в точке достигается максимум. Для определения различия меж локальным и глобальным минимумами нужно сопоставить значения функций .

Пример:

Изучить нрав точек перегиба

Тогда х = 1/3 либо 1.

При x Оптимизация без ограничений=1/3 производная меняет символ с + на -, а при x=1 c – на +. Как следует, в точке 1/3 максимум, в точке 1 минимум.

Этот пример может быть решен более обычным методом, если вычислить вторую производную

, , т. е. отрицательна, и при x = 1/3 достигается максимум;

, т. е. положительна, и при х = 1 достигается минимум.

Неоднозначность, возникающую при f"(x Оптимизация без ограничений) = 0, можно разрешить, увеличив количество членов в формуле разложения в ряд Тейлора:

При всем этом можно сконструировать последующее правило:

Если функция f(х) и ее производные непрерывны, то точка является точкой экстремума (максимума либо минимума) тогда, и только тогда, когда n четное, где n — порядок первой необращающейся в нуль в Оптимизация без ограничений точке производной. Если , то в точке достигается максимум, если , то в точке достигается минимум.


oprosnik-po-ocenke-urovnya-fizicheskoj-aktivnosti-prikaz-ot-19-03-2012-g-250-p-ob-organizacii-shkol-zdorovya.html
oprosnik-professionalnih-predpochtenij.html
oprosnik-roditelskogo-otnosheniya-aya-varga-vv-stolin.html